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A dúvida frequente nesse problema não se refere exatamente ao cálculo do campo elétrico, que não tem  muito mistério, mas à determinação da velocidade da partícula pedida no item (b): uma partícula de massa  m e carga  Q se move a partir do repouso sob a ação do campo elétrico produzido pelo disco.


Bem, se conhecemos o campo elétrico na região, é simples determinar a força elétrica sobre uma partícula carregada ali colocada: decorre simplesmente da definição de campo elétrico:

 \mathbf{F}=Q\mathbf{E} ,

e como essa é a única força que atua sobre a partícula (a gravitacional, quando presente, é gerealmente desprezível face à elétrica), teremos pela segunda lei de Newton:


 Q\mathbf{E}=m\mathbf{a}=m\frac{d\mathbf{v}}{dt}.

O erro mais comumEdit

Não é raro o aluno se esquecer que o campo na regiâo NÃO é uniforme (e quase nunca é), de modo que a aceleração não será constante --- não posso de modo algum fazer uso da infelizmente famosa equação de Torricelli:

 v^2=v_0^2+2a\Delta s ,

com 

 a=\frac{QE}{m} .

Geralmente, o aluno usa o campo no ponto inicial onde a partícula se encontra. Façam um favor a si mesmos e esqueçam essa equação. Quase nunca vamos utilizá-la.

O procedimento corretoEdit

Há mais de uma forma de se resolver o problema corretamente. A primeira, que mostro aqui, é resolvendo diretamente a equação acima (lei de Newton), porém lembrando que o conheço o campo como função da posição, e não do tempo, portanto não posso simplesmente multiplicar por  dt em ambos os termos e integrar em  t . Ao invés disso, é necessário "forçar" o aparecimento da variável que denota a posição. No caso específico do problema, o movimento será restrito ao eixo  z , então teremos

 QE(z)=m\frac{dv}{dt}\,.\,\frac{dz}{dz} = m\frac{dz}{dt}\frac{dv}{dz} .

Nessa passagem, multipliquei numerador e denominador pelo mesmo fator  dz , o que não altera a igualdade, e reagrupei convenientemente os termos. Observe agora que 

 \frac{dz}{dt}=v,

justamente a velocidade da partícula. Agora sim, posso multiplicar por  dz em ambos os termos e integrar em  z , o que é possível pois o campo elétrico varia (e você deve ter calculado no item a) em termos dessa coordenada:

 QE(z)\,dz=mv\,dv

de modo que, integrando entre os limites correspondentes às posições inicial e final do trecho de interesse

 \int_{z_0}^{z_f} QE(z)\,dz=\int_{v_0}^{v_f}mv\,dv=\frac12(v_f^2-v_0^2)

Você talvez tenha percebido que uma maneira mais direta seria simplesmente aplicar o resultado conhecido como teorema do trabalho-energia: o trabalho da força resultante é igual à variação da energia cinética da partícula. O que fiz acima foi deduzir esse fato para o nosso caso particular. é fundamental não esquecer que, para calcular o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a partícula:

W=\int QE(z)\,dz,

o campo não é uniforme e NÃO pode ser tratado como uma constante, saindo da integral. Não se pode usar o campo no ponto inicial, final ou médio da trajetória da partícula, mas a função campo determinada em termos da posição desta, no caso específico, z.

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