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Elétron solto no eixo de um anel carregadoEdit

Quando você faz a aproximação z<<a , você mostra que  $ F=-eE\simeq -kz $, como você já comentou. Isso (força proporcional à "elongação") é característica de movimento HARMÔNICO simples, pois pela lei de Newton se tem $ -kz=ma $, onde $ a $ é a derivada primeira da velocidade ou a derivada segunda da posição (que é a coordenada z)

$ a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2z}{dt^2} $.

Essa equaçãozinha diferencial, que é a mais manjada de todas, tem como solução 

$ z = A\cos(\omega t+\phi_0) $,

onde A será a amplitude do movimento ($ =z_0 $) e a constante $ \phi_0 $ é a fase inicial, que teria que ser calculada de acordo com as condições iniciais. Não é necessário fazer isso, pois a solução em cosseno já demonstra que é um MHS, sendo ômega a frequência (do MHS, não do movimento circular). Pela equação, tem-se

$ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} $. 


Força sobre o arameEdit

Para o terceiro item, você deve calcular a força infinitesimal que atua sobre cada elemento de carga do arame. Isso é fácil, já que você já determinou o campo $ \mathbf{E}=E\,\hat{z} $ produzido pelo anel no item (a). Lembre-se que deve ser obtida a força sobre um elemento de carga do arame numa posição genérica deste, isto é, para uma coordenada z entre R e 2R, e depois integra-se para z variando entre esses limites para obter-se a força total:



$ dF=E\, dq = E\lambda_{\textrm{arame}}\,dz =\frac{\lambda_{\textrm{anel}}Rz}{2\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}} \lambda_{\textrm{arame}}\,dz $

$ F=\int_R^{2R}\frac{\lambda_{\textrm{anel}}Rz}{2\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}} \lambda_{\textrm{arame}}\,dz $

A densidade de cargas do arame retilíneo não é a mesma do anel, pois ela está distribuída num comprimento que se estende entre R e 2R, ou seja, R, e

$ \lambda_{\textrm{arame}}=\frac QR, $

enquanto que a do anel está distribuída pelo comprimento da sua circinferência:

$ \lambda_{\textrm{anel}}=\frac{Q}{2\pi R} $

Observe que eu fiz uma certa confusão do enunciado com as dimensões: a e R significam a mesma coisa (o raio do anel e o comprimento do arame), e não deveriam ter sido denominados por letras diferentes. Por isso, simplesmente considerem a=R.