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Terceira lista de problemas de Fis403

Respostas a alguns problemas da Terceira Lista de Fis403 (2º/2013)Edit

Alguns problemas foram publicados sem resposta. Aqui vão elas:


Problema 10: Adotando o sistema de coordenadas de tal forma que o plano xy coincida com a face plana da esfera e o eixo z seja seu eixo de simetria, teremos

a) Superfície plana: $ \sigma_{P_1}={-}P,\quad Q_{P_{S_1}}={-}\pi R^2P $

Superfície curva: $ \sigma_{P_2}=P\cos\theta,\quad Q_{P_{S_2}}=\pi R^2P $

b) $ \rho_P=0,\quad Q_{P_V}=0 $

c) $ \mathbf{p}=\frac{2\pi}3R^3P\,\mathbf{\hat z} $

Problema 17:

a) $ \mathbf{E}=\frac{(\beta-\alpha r)Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\,\mathbf{\hat r},\quad \mathbf{D}=\frac{Q}{4\pi r^2}\,\mathbf{\hat r} $

b) $ \sigma_{P_a}={-}\frac{(\alpha a-\beta+1)Q}{4\pi a^2},\quad \sigma_{P_a}=\frac{(\alpha b-\beta+1)Q}{4\pi b^2},\quad \rho_P={-}\frac{\alpha Q}{4\pi r^2} $

c) $ V(a)-V(b)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left[\beta\left(\frac1a-\frac1b\right)-\alpha\ln\frac ba \right] $


Problema 19:

a) $ \mathbf{D}=\frac{qr}{4\pi a^3}\,\mathbf{\hat r},\quad r<a,\qquad \mathbf D=\frac{q}{4\pi r^2}\,\mathbf{\hat r},\quad r>a $.

$ \mathbf E=\frac{qr^2}{8\pi\epsilon_0 a^4}\,\mathbf{\hat r},\quad r<a, \qquad \mathbf E=\frac{q}{8\pi\epsilon_0 ar}\,\mathbf{\hat r}, \quad 2a<r<3a $

$ \mathbf E= \frac q{4\pi\epsilon_0 r^2}\,\mathbf{\hat r}, \quad a<r<2a\,\,\,\textrm{ e }\,\,\, r>3a $

b) Esfera interna: $ \sigma_{P_a}=\frac{q}{8\pi a^2},\quad\rho_{P}={-}\frac{q(3a-2r)}{4\pi a^4} $

Casca esférica externa: $ \sigma_{P_{2a}}=0,\quad\sigma_{P_{3a}}={-}\frac q{72\pi a^2},\quad\rho_P=\frac q{8\pi a^2r} $

c) Na superfície interna da esfera externa ($ r=2a $) a carga de polarização é nula. Nas demais vale $ q/2 $ em módulo, sendo positiva em $ r=a $ e negativa em $ r=3a $. As cargas volumétricas de polarização em cada esfera têm valores opostos às superficiais.

Problema 20: $ \sigma_{P_a}=0,\quad\sigma_{P_{2a}}=\frac{\rho_0a}6,\quad\rho_P={-}\frac{2\rho_0a^3}{\rho(\rho+a)^2},\quad\rho_\ell=\frac{\rho_0a}\rho $

b) $ \mathbf E=\frac{\rho_0a(\rho-a)}{\epsilon_0(\rho+a)}\,\mathbf{\hat\rho},\quad a<\rho<2a,\quad \mathbf E=\frac{\rho_0a^2}{\epsilon_0\rho}\,\mathbf{\hat\rho},\quad \rho>2a $

c) $ V(a)-V(2a)=\frac{\rho_0a^2}{\epsilon_0}\left(1-\ln\frac32\right) $

d Para um comprimento $ \ell $ do cilindro: $ Q_{P_S}={-}Q_{P_V}=\frac23\pi\rho_0a^2\ell $