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Fis403 Primeira Lista de exercíciosEdit

Problema 8Edit

Ano após ano, o problema 8 da 1ª lista sempre gera dúvida, mas o caso aí é mais de interpretação: na letra b) pergunto a respeito do raio $ R' $ de uma esfera que possua metade da carga total da distribuição. Como foi dito, a distribuição é infinita, logo, para calcular sua carga total, devo realizar a integração na variáve$ r $ de $ {-}\infty $ a $ {+}\infty $, obtendo:

$ Q_t=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^\infty K\frac{e^{{-}ar}}{r^2}\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi = \frac{4K\pi}a . $


Pois bem, com essencialmente a mesma integração, mudando apenas o limite superior

da variável radial para $ R' $, ao invés de $ \infty $, posso obter a carga dessa esfera pedida,

que deve ser a metade da calculada acima para a distribuição completa:


$ Q_{R'}=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^{R'} K\frac{e^{{-}ar}}{r^2}\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi = \frac12 Q_t . $


Daí para a frente, é só álgebra simples.